Ndryshimi i ekuacioneve të lëvizjes së avionit. Ekuacionet e lëvizjes gjatësore të një avioni. Ekuacionet e lëvizjes gjatësore të një avioni

Faqe 1

Lëvizja e një aeroplani si trup i ngurtë përbëhet nga dy lëvizje: lëvizja e qendrës së masës dhe lëvizja rreth qendrës së masës. Meqenëse në secilën prej këtyre lëvizjeve avioni ka tre shkallë lirie, lëvizja e tij e përgjithshme karakterizohet nga gjashtë shkallë lirie. Për të specifikuar lëvizjen në çdo kohë, është e nevojshme të specifikohen gjashtë koordinata si funksione të kohës.

Për të përcaktuar pozicionin e avionit ne do të përdorim sistemet e mëposhtme të koordinatave drejtkëndore (Fig. 2.1):

një sistem i palëvizshëm Ox0y0z0, fillimi i të cilit përkon me qendrën e masës së avionit, boshti Oy0 drejtohet vertikalisht, dhe boshtet Ox0 dhe Oz0 janë horizontale dhe kanë një drejtim të caktuar në lidhje me Tokën;

një sistem i bashkuar Ox1y1z1 me origjinë në qendër të masës së avionit, boshtet e të cilit drejtohen përgjatë akseve kryesore të inercisë së avionit: boshti Ox1 është përgjatë boshtit gjatësor, boshti Oy1 është në rrafshin e simetrisë, boshti Oz1 është pingul me rrafshin e simetrisë;

sistemi i shpejtësisë Oxyz me origjinë në qendër të masës së avionit, boshti Ox i të cilit drejtohet përgjatë vektorit të shpejtësisë V, boshti Oy në rrafshin e simetrisë, boshti Oz pingul me rrafshin e simetrisë;

Pozicioni i sistemit të bashkuar Ox1y1z1 në raport me sistemin stacionar Ox0y0z0 karakterizohet nga këndet e Euler-it: φ – këndi i rrotullimit, ψ – këndi i kthesës dhe J – këndi i hapit.

Pozicioni i vektorit të shpejtësisë së ajrit V në raport me sistemin e çiftuar Ox1y1z1 karakterizohet nga këndi i sulmit α dhe këndi i rrëshqitjes b.

Shpesh, në vend të një sistemi koordinativ inercial, zgjidhet një sistem i lidhur me Tokën. Qendra e pozicionit të masës avion në këtë sistem koordinativ mund të karakterizohet nga lartësia e fluturimit H, devijimi anësor nga një rrugë e caktuar fluturimi Z dhe distanca e përshkuar L.

Oriz. 2.1 Sistemet e koordinatave

Le të shqyrtojmë lëvizjen planore të një avioni në të cilin vektori i shpejtësisë së qendrës së masës përkon me rrafshin e simetrisë. Avioni në sistemin e koordinatave me shpejtësi të lartë është paraqitur në Fig. 2.2.

Oriz. 2.2 Avion në një sistem koordinatash me shpejtësi të lartë

Ekuacionet lëvizje gjatësore qendra e masës së avionit në projeksion mbi akset OXa dhe OYa do të shkruhet në formën

(2.1)

(2.2)

Ku m është masë;

V – shpejtësia e avionit;

P – forca tërheqëse e motorit;

a – këndi i sulmit;

q – këndi i prirjes së vektorit të shpejtësisë ndaj horizontit;

Xa – forca e tërheqjes;

Ya – forca ngritëse aerodinamike;

G – forca e peshës.

Le të shënojmë me Mz dhe Jz, përkatësisht, momentin total të forcave aerodinamike që veprojnë në lidhje me boshtin tërthor që kalon nëpër qendrën e masës dhe momentin e inercisë në lidhje me të njëjtin bosht. Ekuacioni i momenteve rreth boshtit tërthor të avionit do të jetë:

(2.3)

Nëse Mshv dhe Jv janë momenti i menteshës dhe momenti i inercisë së ashensorit në lidhje me boshtin e tij të rrotullimit, Mv është momenti i kontrollit i krijuar nga sistemi i kontrollit, atëherë ekuacioni i lëvizjes së ashensorit do të jetë:

(2.4)

Në katër ekuacionet (2.1) – (2.4), të panjohurat janë pesë madhësi J, q, a, V dhe dв.

Si ekuacion i pestë që mungon, marrim ekuacionin kinematik që lidh madhësitë J, q dhe a (shih Fig. 2.2).

Në rastin e analizimit të dinamikës së një avioni që fluturon me një shpejtësi dukshëm më të ulët se shpejtësia orbitale, ekuacionet e lëvizjes në krahasim me rastin e përgjithshëm të fluturimit të avionit mund të thjeshtohen në veçanti, rrotullimi dhe sfericiteti i Tokës mund të neglizhohen . Përveç kësaj, ne do të bëjmë një numër supozimesh thjeshtuese.

vetëm kuazi-statikisht, për vlerën aktuale të kokës së shpejtësisë.

Kur analizojmë qëndrueshmërinë dhe kontrollueshmërinë e avionit, ne do të përdorim boshtet e mëposhtme drejtkëndore të koordinatave të djathta.

Sistemi normal i koordinatave tokësore OXgYgZg. Ky sistem i boshteve koordinative ka një orientim konstant në lidhje me Tokën. Origjina e koordinatave përkon me qendrën e masës (CM) të avionit. Boshtet 0Xg dhe 0Zg shtrihen në rrafshin horizontal. Orientimi i tyre mund të merret në mënyrë arbitrare, në varësi të qëllimeve të problemit që zgjidhet. Gjatë zgjidhjes së problemeve të lundrimit, boshti 0Xg shpesh drejtohet në veri paralelisht me tangjenten me meridianin, dhe boshti 0Zg drejtohet në Lindje. Për të analizuar qëndrueshmërinë dhe kontrollueshmërinë e një avioni, është e përshtatshme të merret drejtimi i orientimit të boshtit 0Xg që të përkojë në drejtim me projeksionin e vektorit të shpejtësisë në planin horizontal në momentin fillestar të kohës së studimit të lëvizjes. Në të gjitha rastet, boshti 0Yg drejtohet lart përgjatë vertikalës lokale, dhe boshti 0Zg shtrihet në rrafshin horizontal dhe, së bashku me akset OXg dhe 0Yg, formon një sistem të djathtë të boshteve të koordinatave (Fig. 1.1). Rrafshi XgOYg quhet rrafshi vertikal lokal.

Sistemi i koordinatave të lidhura OXYZ. Origjina e koordinatave ndodhet në qendër të masës së avionit. Boshti OX shtrihet në rrafshin e simetrisë dhe drejtohet përgjatë vijës së kordonit të krahut (ose paralel me ndonjë drejtim tjetër të fiksuar në lidhje me avionin) drejt hundës së avionit. Boshti 0Y shtrihet në rrafshin e simetrisë së avionit dhe është i drejtuar lart (në fluturim horizontal), boshti 0Z plotëson sistemin në të djathtë.

Këndi i sulmit a është këndi midis boshtit gjatësor të avionit dhe projeksionit të shpejtësisë së ajrit në aeroplanin OXY. Këndi është pozitiv nëse projeksioni i shpejtësisë ajrore të avionit në boshtin 0Y është negativ.

Këndi i rrëshqitjes p është këndi midis shpejtësisë së ajrit të avionit dhe planit OXY të sistemit të koordinatave përkatëse. Këndi është pozitiv nëse projeksioni i shpejtësisë së ajrit në boshtin tërthor është pozitiv.

Pozicioni i sistemit koordinativ të lidhur OXYZ në raport me sistemin normal të koordinatave të tokës OXeYgZg mund të përcaktohet plotësisht nga tre kënde: φ, #, y, të quajtura kënde. Euler. Rrotullimi i njëpasnjëshëm i sistemit të lidhur

koordinatat për secilin nga këndet e Euler-it, mund të arrihet në çdo pozicion këndor të sistemit shoqërues në lidhje me boshtet e sistemit normal të koordinatave.

Gjatë studimit të dinamikës së avionit, përdoren konceptet e mëposhtme të këndeve të Euler.

Këndi i devijimit r]) është këndi midis disa drejtimeve fillestare (për shembull, boshti 0Xg i sistemit normal të koordinatave) dhe projeksionit të boshtit të lidhur të avionit në rrafshin horizontal. Këndi është pozitiv nëse boshti OX është në linjë me projeksionin e boshtit gjatësor në rrafshin horizontal duke u kthyer në drejtim të akrepave të orës rreth boshtit OYg.

Këndi i lartësisë # - këndi midis boshtit gjatësor # të avionit OX dhe atij lokal plan horizontal OXgZg, Këndi është pozitiv nëse boshti gjatësor është mbi horizont.

Këndi i rrotullimit y është këndi midis rrafshit vertikal lokal që kalon nëpër boshtin OX y dhe boshtit të lidhur 0Y të avionit. Këndi është pozitiv nëse boshti O K i avionit është në linjë me rrafshin vertikal lokal duke u kthyer në drejtim të akrepave të orës rreth boshtit OX. Këndet e Euler-it mund të përftohen nga rrotullimet e njëpasnjëshme të boshteve të lidhura rreth boshteve normale. Ne do të supozojmë se sistemet normale dhe të lidhura të koordinatave janë të kombinuara në fillim. Rrotullimi i parë i sistemit të akseve të lidhura do të bëhet në lidhje me boshtin O nga këndi i devijimit r]; (f përkon me boshtin OYgX në Fig. 1.2)); rrotullimi i dytë është në lidhje me boshtin 0ZX në një kënd Ф ('& përkon me boshtin OZJ dhe, së fundi, rrotullimi i tretë bëhet në lidhje me boshtin OX në një kënd y (y përkon me boshtin OX). Projektimi i vektorët Ф, Ф, у, të cilët janë komponentët

vektori i shpejtësisë këndore të avionit në lidhje me sistemin normal të koordinatave, në akset përkatëse, marrim ekuacione për marrëdhënien midis këndeve të Euler-it dhe shpejtësive këndore të rrotullimit të akseve përkatëse:

bashkë* = Y + mëkat *&;

o)^ = i)COS'&cosY+ ftsiny; (1.1)

co2 = φ cos y - φ cos φ sin y.

Kur nxjerrim ekuacionet e lëvizjes për qendrën e masës së një avioni, është e nevojshme të merret parasysh ekuacioni i vektorit për ndryshimin e momentit

-^- + o>xV)=# + G, (1.2)

ku ω është vektori i shpejtësisë së rrotullimit të akseve të lidhura me avionin;

R është vektori kryesor i forcave të jashtme, në rastin e përgjithshëm aerodinamik

forcat logjike dhe tërheqja; G është vektori i forcave gravitacionale.

Nga ekuacioni (1.2) marrim një sistem ekuacionesh të lëvizjes së CM të avionit në projeksione në akset përkatëse:

t (gZ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!' (1 -3)

t iy’dt “b U - = Rz + Gz>

ku Vx, Vy, Vz janë projeksione të shpejtësisë V; Rx, Rz - projeksione

forcat rezultante (forcat aerodinamike dhe shtytja); Gxi Gyy Gz - projeksionet e gravitetit në akset përkatëse.

Projeksionet e gravitetit në akset përkatëse përcaktohen duke përdorur kosinuset e drejtimit (Tabela 1.1) dhe kanë formën:

Gy = - G cos ft cos y; (1.4)

GZ = G cos d sin y.

Kur fluturoni në një atmosferë të palëvizshme në lidhje me Tokën, parashikimet e shpejtësisë së fluturimit lidhen me këndet e sulmit dhe rrëshqitjes dhe madhësinë e shpejtësisë (V) nga marrëdhëniet

Vx = V cos a cos p;

Vу = - V sin a cos р;

Të lidhura

Shprehjet për projeksionet e forcave rezultuese Rx, Rin Rz kanë formën e mëposhtme:

Rx = - cxqS - f Р cos ([>;

Rty = cyqS p sin (1.6)

ku cx, cy, сг - koeficientët e projeksioneve të forcave aerodinamike në boshtet e sistemit të koordinatave shoqëruese; P - gyga e motorëve (zakonisht P = / (U, #)); Fn - këndi i bllokimit të motorit (ff > 0, kur projeksioni i vektorit të shtytjes në boshtin 0Y të avionit është pozitiv). Më tej, ne do të marrim = 0 kudo Për të përcaktuar densitetin p (H) të përfshirë në shprehjen për presionin e shpejtësisë q, është e nevojshme të integrohet ekuacioni për lartësinë.

Vx sin ft+ Vy cos ft cos y - Vz cos ft sin y. (1.7)

Varësia p (H) mund të gjendet nga tabelat e atmosferës standarde ose nga formula e përafërt

ku për lartësitë e fluturimit I s 10.000 m K f 10~4. Për të marrë një sistem të mbyllur të ekuacioneve të lëvizjes së avionit në akset përkatëse, ekuacionet (13) duhet të plotësohen me kinematikë

marrëdhëniet që bëjnë të mundur përcaktimin e këndeve të orientimit të avionit y, ft, r]1 dhe mund të merren nga ekuacionet (1.1):

■ф = Кcos У - sin V):

■fr= "y sin y + cos Vi (1-8)

Y= co* - tan ft (©у cos y - sinY),

dhe shpejtësitë këndore cov, co, coz përcaktohen nga ekuacionet e lëvizjes së avionit në raport me CM. Ekuacionet e lëvizjes së një avioni në lidhje me qendrën e masës mund të merren nga ligji i ndryshimit të momentit këndor

-^-=MR-ZxK.(1.9)

Në atë ekuacioni vektorial Pranohen shënimet e mëposhtme: ->■ ->

K është momenti i momentit të avionit; MR është momenti kryesor i forcave të jashtme që veprojnë në avion.

Projeksionet e vektorit të momentit këndor K mbi boshtet lëvizëse zakonisht shkruhen në formën e mëposhtme:

K t = I x^X? xy®y I XZ^ZI

К, Iу^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1.10)

K7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*

Ekuacionet (1.10) mund të thjeshtohen për rastin më të zakonshëm të analizimit të dinamikës së një avioni që ka një plan simetrie. Në këtë rast, 1хг = Iyz - 0. Nga ekuacioni (1.9), duke përdorur relacionet (1.10), marrim një sistem ekuacionesh për lëvizjen e avionit në lidhje me CM:

h -jf — — hy (“4 — ©Ї) + Uy — !*) = MRZ-

Nëse akset kryesore të inercisë i marrim si SY OXYZ, atëherë 1xy = 0. Në këtë drejtim, do të bëjmë analiza të mëtejshme të dinamikës së avionit duke përdorur akset kryesore të inercisë së avionit si akset OXYZ.

Momentet e përfshira në anën e djathtë të ekuacioneve (1.11) janë shuma e momenteve aerodinamike dhe momenteve nga shtytja e motorit. Momentet aerodinamike shkruhen në formë

ku tХ1 ty, mz janë koeficientët pa dimension të momenteve aerodinamike.

Koeficientët e forcave dhe momenteve aerodinamike shprehen përgjithësisht në formën e varësive funksionale nga parametrat kinematikë të lëvizjes dhe parametrat e ngjashmërisë, në varësi të mënyrës së fluturimit:

y, g mXt = F(a, p, a, P, coXJ coyj co2, be, f, bn, M, Re). (1.12)

Numrat M dhe Re karakterizojnë mënyrën fillestare të fluturimit, prandaj, kur analizoni stabilitetin ose lëvizjet e kontrolluara, këto parametra mund të merren si vlera konstante. Në rastin e përgjithshëm të lëvizjes, ana e djathtë e secilit prej ekuacioneve të forcave dhe momenteve do të përmbajë një funksion mjaft kompleks, të përcaktuar, si rregull, në bazë të përafrimit të të dhënave eksperimentale.

Fik. 1.3 tregon rregullat e shenjave për parametrat kryesorë të lëvizjes së avionit, si dhe për madhësitë e devijimeve të kontrolleve dhe levave të kontrollit.

Për kënde të vogla sulmi dhe rrëshqitje anash, zakonisht përdoret paraqitja e koeficientëve aerodinamikë në formën e zgjerimeve të serisë Taylor për sa i përket parametrave të lëvizjes, duke ruajtur vetëm termat e parë të këtij zgjerimi. Ky model matematikor i forcave dhe momenteve aerodinamike për kënde të vogla sulmi përputhet mjaft mirë me praktikën e fluturimit dhe eksperimentet në tunelet e erës. Bazuar në materialet nga punimet mbi aerodinamikën e avionëve për qëllime të ndryshme, ne do të pranojmë formën e mëposhtme të paraqitjes së koeficientëve të forcave dhe momenteve aerodinamike në funksion të parametrave të lëvizjes dhe këndeve të devijimit të kontrolleve:

сх ^ хо 4~ сх (°0"

U ^ SU0 4" s^ua 4" S!/F;

сг = cfp + СгН6„;

th - itixi|5 - f - ■b thha>x-(- th -f - /l* (I -|- - J - L2LP6,!

o (0.- (0^- r b"

tu = myfi + tu ho)x + tu Uyy + r + ga/be + tu bn;

tg = tg(a) + tg zwz/i? f.

Gjatë zgjidhjes së problemeve specifike të dinamikës së fluturimit, forma e përgjithshme e paraqitjes së forcave dhe momenteve aerodinamike mund të thjeshtohet. Për kënde të vogla sulmi, shumë koeficientë aerodinamikë të lëvizjes anësore janë konstante dhe momenti gjatësor mund të përfaqësohet si

mz(a) = mzo + m£a,

ku mz0 është koeficienti i momentit gjatësor në a = 0.

Komponentët e përfshirë në shprehjen (1.13), në përpjesëtim me këndet α, zakonisht gjenden nga testet statike të modeleve në tunelet e erës ose nga llogaritjet. Per te gjetur

Kërkohet Instituti Kërkimor i Derivateve, twx (y).

testimi dinamik i modeleve. Sidoqoftë, në teste të tilla zakonisht ka një ndryshim të njëkohshëm në shpejtësitë këndore dhe këndet e sulmit dhe rrëshqitjes, dhe për këtë arsye gjatë matjeve dhe përpunimit përcaktohen njëkohësisht sasitë e mëposhtme:

CO - CO- ,

tg* = t2g -mz;

0), shekulli R. Yuu I.

mx* = mx + mx sin a; tu* = Shuh tu sin a.

CO.. (O.. ft CO-. CO.. ft

ty% = t,/ -|- tiiy cos a; tx% = txy + tx cos a.

Puna tregon se për të analizuar dinamikën e një avioni,

sidomos në kënde të ulëta të sulmit, lejohet të përfaqësohet momenti

com në formën e marrëdhënieve (1.13), në të cilat derivatet mS dhe m$

merret e barabartë me zero, dhe nën shprehjet m®x, etj.

Kuptohen sasitë m“j, m™у [shih (1.14)], e përcaktuar në mënyrë eksperimentale. Le të tregojmë se kjo është e pranueshme duke e kufizuar shqyrtimin tonë në problemet e analizimit të fluturimeve me kënde të vogla sulmi dhe rrëshqitjeje me një shpejtësi konstante fluturimi. Duke zëvendësuar shprehjet për shpejtësitë Vх, Vy, Vz (1.5) në ekuacionet (1.3) dhe duke bërë transformimet e nevojshme, marrim

= % COS a + coA. sina - f -^r )

 

Mund të jetë e dobishme të lexoni: