A repülőgép mozgásának egyenleteinek változtatása. Repülőgép hosszirányú mozgásának egyenletei. Repülőgép hosszirányú mozgásának egyenletei

1. oldal

A repülőgép, mint merev test mozgása két mozgásból áll: a tömegközéppont mozgásából és a tömegközéppont körüli mozgásból. Mivel ezen mozgások mindegyikében a repülőgép három szabadságfokkal rendelkezik, általános mozgását hat szabadsági fok jellemzi. A mozgás bármikori megadásához hat koordinátát kell megadni az idő függvényében.

A repülőgép helyzetének meghatározásához a következő derékszögű koordinátarendszereket használjuk (2.1. ábra):

egy Ox0y0z0 álló rendszer, amelynek eleje egybeesik a repülőgép tömegközéppontjával, az Oy0 tengely függőlegesen, az Ox0 és Oz0 tengelyek vízszintesek és a Földhöz képest rögzített irányúak;

egy Ox1y1z1 csatolt rendszer a repülőgép tömegközéppontjában, amelynek tengelyei a repülőgép fő tehetetlenségi tengelye mentén vannak irányítva: az Ox1 tengely a hossztengely mentén, az Oy1 tengely a szimmetriasíkban van, az Oz1 tengely merőleges a szimmetriasíkra;

sebességrendszer Oxyz origóval a légi jármű tömegközéppontjában, amelynek Ox tengelye a V sebességvektor mentén, az Oy tengelye a szimmetriasíkban, az Oz tengelye merőleges a szimmetriasíkra;

Az Ox1y1z1 csatolt rendszer helyzetét a stacionárius Ox0y0z0 rendszerhez viszonyítva Euler-szögek jellemzik: φ – dőlésszög, ψ – elfordulási szög és J – dőlésszög.

A V légsebességvektor helyzetét az Ox1y1z1 csatolt rendszerhez viszonyítva az α támadási szög és a b siklásszög jellemzi.

Gyakran az inerciális koordinátarendszer helyett a Földhöz kapcsolódó rendszert választják. A tömegközéppont helyzete repülőgép ebben a koordinátarendszerben a H repülési magassággal, az adott Z repülési útvonaltól való oldalirányú eltéréssel és L megtett távolsággal jellemezhető.

Rizs. 2.1 Koordinátarendszerek

Tekintsük egy repülőgép síkbeli mozgását, amelyben a tömegközéppont sebességvektora egybeesik a szimmetriasíkkal. A nagysebességű koordinátarendszerben lévő repülőgépet a 2.2.

Rizs. 2.2 Repülőgép nagysebességű koordinátarendszerben

Egyenletek hosszanti mozgás a repülőgép tömegközéppontja az OXa és OYa tengelyekre vetítve a következő formában lesz írva

(2.1)

(2.2)

ahol m a tömeg;

V – repülőgép légsebessége;

P – motor vonóereje;

a – támadási szög;

q – a sebességvektor dőlésszöge a horizonthoz képest;

Xa – húzóerő;

Ya – aerodinamikai emelőerő;

G – súlyerő.

Jelöljük Mz-vel, illetve Jz-vel a tömegközépponton átmenő keresztirányú tengelyre ható aerodinamikai erők össznyomatékát, illetve az ugyanahhoz a tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékot. A repülőgép keresztirányú tengelye körüli nyomatékegyenlet a következő lesz:

(2.3)

Ha Mshv és Jv a felvonó forgástengelyéhez viszonyított csuklónyomatéka és tehetetlenségi nyomatéka, Mv pedig a vezérlőrendszer által létrehozott vezérlőnyomaték, akkor a felvonó mozgásegyenlete a következő lesz:

(2.4)

Négy (2.1) – (2.4) egyenletben az ismeretlenek öt mennyiség: J, q, a, V és dв.

Hiányzó ötödik egyenletként a J, q és a mennyiségeket összekötő kinematikai egyenletet vesszük (lásd 2.2. ábra).

A keringési sebességnél lényegesen kisebb sebességgel repülő repülőgép dinamikájának elemzése esetén a mozgásegyenletek a repülőgép repülésének általános esetéhez képest különösen leegyszerűsíthetők, a Föld forgása és gömbszerűsége elhanyagolható . Ezen túlmenően számos egyszerűsítő feltevést teszünk.

csak kvázi statikusan, a sebességfej aktuális értékére.

A repülőgép stabilitásának és irányíthatóságának elemzésekor a következő téglalap alakú jobbos koordinátatengelyeket használjuk.

Normál földi koordinátarendszer OXgYgZg. Ez a koordinátatengely-rendszer állandó orientációjú a Földhöz képest. A koordináták origója egybeesik a repülőgép tömegközéppontjával (CM). A 0Xg és 0Zg tengelyek a vízszintes síkban helyezkednek el. Tájékozódásuk tetszőlegesen felvehető, a megoldandó probléma céljaitól függően. A navigációs feladatok megoldása során a 0Xg tengelyt gyakran a meridián érintőjével párhuzamosan északra, a 0Zg tengelyt pedig keletre irányítják. Egy repülőgép stabilitásának és irányíthatóságának elemzéséhez célszerű felvenni a 0Xg tengely tájolási irányát, hogy egybeessen a sebességvektor vízszintes síkra való vetületével a mozgásvizsgálat kezdeti időpontjában. A 0Yg tengely minden esetben felfelé irányul a lokális függőleges mentén, a 0Zg tengely pedig a vízszintes síkban fekszik, és az OXg és 0Yg tengellyel együtt jobb oldali koordinátatengely-rendszert alkot (1.1. ábra). Az XgOYg síkot lokális függőleges síknak nevezzük.

Kapcsolódó OXYZ koordinátarendszer. A koordináták origója a repülőgép tömegközéppontjában található. Az OX tengely a szimmetriasíkban fekszik, és a szárny húrvonala mentén (vagy más, a repülőgéphez képest rögzített iránnyal párhuzamosan) a repülőgép orra felé irányul. A 0Y tengely a repülőgép szimmetriasíkjában fekszik és felfelé irányul (vízszintes repülésben), a 0Z tengely jobbra egészíti ki a rendszert.

Az a támadási szög a repülőgép hossztengelye és a légsebesség OXY síkra való vetülete közötti szög. A szög pozitív, ha a repülőgép légsebességének vetülete a 0Y tengelyre negatív.

A p siklásszög a repülőgép légsebessége és a hozzá tartozó koordinátarendszer OXY síkja közötti szög. A szög pozitív, ha a légsebesség keresztirányú tengelyre vetítése pozitív.

A kapcsolódó OXYZ koordinátarendszer helyzete a normál földi OXeYgZg koordinátarendszerhez viszonyítva három szöggel teljesen meghatározható: φ, #, y, amelyeket szögeknek nevezünk. Euler. A csatlakoztatott rendszer egymás utáni forgatása

koordináták az egyes Euler-szögekhez, a kapcsolódó rendszer bármely szögpozíciójához eljuthatunk a normál koordináta-rendszer tengelyeihez képest.

A repülőgép dinamikájának tanulmányozásakor az Euler-szögek alábbi fogalmait használjuk.

Lehajlási szög r]) az a szög, amely valamely kezdeti irány (például a normál koordináta-rendszer 0Xg tengelye) és a repülőgép kapcsolódó tengelyének a vízszintes síkra való vetülete között van. A szög akkor pozitív, ha az OX tengely a hossztengelynek a vízszintes síkra való vetületével egy vonalba esik, az óramutató járásával megegyező irányba forgatva az OYg tengely körül.

Pitch angle # - a repülőgép OX hossztengelye és a helyi szög közötti szög vízszintes sík OXgZg, A szög pozitív, ha a hossztengely a horizont felett van.

Az y elfordulási szög az OX y tengelyen átmenő helyi függőleges sík és a repülőgép kapcsolódó 0Y tengelye közötti szög. A szög akkor pozitív, ha a repülőgép O K tengelye az óramutató járásával megegyező irányban az OX tengely körüli elforgatással egy vonalba esik a helyi függőleges síkkal. Az Euler-szögek a kapcsolódó tengelyek normál tengelyek körüli egymás utáni elforgatásával kaphatók meg. Feltételezzük, hogy a normál és a kapcsolódó koordinátarendszerek az elején kombinálva vannak. Az összefüggő tengelyek rendszerének első elforgatása az O tengelyhez képest az r elfordulási szöggel történik; (f egybeesik az OYgX tengellyel az 1.2. ábrán)); a második elforgatás a 0ZX tengelyhez képest Ф szögben történik ('& egybeesik az OZJ tengellyel, és végül a harmadik elforgatás az OX tengelyhez képest y szögben történik (y egybeesik az OX tengellyel). Ф, Ф, у vektorok, amelyek a komponensek

A repülőgép normál koordináta-rendszerhez viszonyított szögsebességének vektorát a kapcsolódó tengelyekre, egyenleteket kapunk az Euler-szögek és a kapcsolódó tengelyek forgási szögsebességei közötti összefüggésre:

co* = Y + sin *&;

o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1.1)

co2 = φ cos y - φ cos φ sin y.

A repülőgép tömegközéppontjának mozgásegyenleteinek levezetésénél figyelembe kell venni az impulzus változásának vektoregyenletét

-^- + o>xV)=# + G, (1,2)

ahol ω a légi járműhöz tartozó tengelyek forgási sebességének vektora;

R a külső erők fő vektora, általános esetben aerodinamikai

logikai erők és vonóerő; G a gravitációs erők vektora.

Az (1.2) egyenletből megkapjuk a repülőgép CM mozgásegyenletrendszerét a kapcsolódó tengelyekre vetítésekben:

t (gZ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)

t iy’dt „b U - = Rz + Gz>

ahol Vx, Vy, Vz a V sebesség vetületei; Rx, Rz - vetületek

eredő erők (aerodinamikai erők és tolóerő); Gxi Gyy Gz - a gravitáció vetületei a kapcsolódó tengelyekre.

A gravitáció egymáshoz kapcsolódó tengelyekre való vetületeit iránykoszinuszokkal határozzuk meg (1.1. táblázat), és a következő formájúak:

Gy = - G cos ft cos y; (1.4)

GZ = G cos d sin y.

Ha a Földhöz képest álló légkörben repül, a repülési sebesség előrejelzései a támadási és siklásszögekkel, valamint a sebesség nagyságával (V) vannak összefüggésben.

Vx = V cos a cos p;

Vу = - V sin a cos р;

Összefüggő

Az eredményül kapott Rx, Rin Rz erők vetületeinek kifejezései a következő alakúak:

Rx = - cxqS - f Р cos ([>;

Rty = cyqS p sin (1,6)

ahol cx, cy, сг - az aerodinamikai erők vetületeinek együtthatói a kapcsolódó koordináta-rendszer tengelyeire; P a motorok száma (általában P = / (U, #)); Fn - hajtómű leállási szöge (ff > 0, ha a tolóerő vektor vetülete a repülőgép 0Y tengelyére pozitív). Továbbá mindenhol = 0-t veszünk a q sebességi nyomás kifejezésében szereplő p (H) sűrűség meghatározásához, integrálni kell a magassági egyenletet.

Vx sin ft+ Vy cos ft cos y - Vz cos ft sin y. (1,7)

A p (H) függést a standard légkör táblázataiból vagy a közelítő képletből találhatjuk meg

ahol az I repülési magasságokhoz s 10 000 m K f 10~4. Ahhoz, hogy egy zárt egyenletrendszert kapjunk a repülőgép mozgásáról a kapcsolódó tengelyeken, a (13) egyenletet ki kell egészíteni kinematikaival.

összefüggések, amelyek lehetővé teszik a repülőgép y, ft, r]1 tájolási szögeinek meghatározását, és az (1.1) egyenletekből nyerhetők:

■ф = Кcos У - sin V):

■fr= "y sin y + cos Vi (1-8)

Y= co* - tan ft (©у cos y - sinY),

a cov, co, coz szögsebességeket pedig a repülőgép CM-hez viszonyított mozgásegyenleteiből határozzuk meg. A repülőgép tömegközépponthoz viszonyított mozgásegyenlete a szögimpulzus változásának törvényéből adódik

-^-=MR-ZxK.(1,9)

Ebben vektor egyenlet A következő jelöléseket fogadjuk el: ->■ ->

K a repülőgép lendületének pillanata; Az MR a repülőgépre ható külső erők fő momentuma.

A K szögimpulzusvektor mozgó tengelyekre vonatkozó vetületeit általában a következő formában írjuk fel:

K t = I x^X? xy®y I XZ^ZI

К, Iу^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1.10)

K7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*

Az (1.10) egyenletek leegyszerűsíthetők egy szimmetriasíkkal rendelkező repülőgép dinamikájának elemzésének leggyakoribb esetére. Ebben az esetben 1хг = Iyz - 0. Az (1.9) egyenletből az (1.10) összefüggések segítségével egy egyenletrendszert kapunk a repülőgép mozgására a CM-hez képest:

Ha a fő tehetetlenségi tengelyeket SY OXYZ-nek vesszük, akkor 1xy = 0. Ebben a tekintetben a repülőgép dinamikájának további elemzését végezzük el, a repülőgép fő tehetetlenségi tengelyeit OXYZ tengelyként használva.

Az (1.11) egyenletek jobb oldalán szereplő nyomatékok az aerodinamikai nyomatékok és a motor tolóerőből származó nyomatékok összege. Az aerodinamikai momentumok a formába vannak írva

ahol tХ1 ty, mz az aerodinamikai nyomatékok dimenzió nélküli együtthatói.

Az aerodinamikai erők és nyomatékok együtthatóit általában a mozgás kinematikai paramétereitől való funkcionális függőségek és a hasonlósági paraméterek formájában fejezik ki, a repülési módtól függően:

y, g mXt = F(a, p, a, P, coXJ coyj co2, be, f, bn, M, Re). (1,12)

Az M és Re számok a kezdeti repülési módot jellemzik, ezért a stabilitás vagy az irányított mozgások elemzésekor ezek a paraméterek konstans értéknek vehetők. A mozgás általános esetben az erő- és nyomatékegyenletek jobb oldala egy meglehetősen összetett függvényt tartalmaz, amelyet általában a kísérleti adatok közelítése alapján határoznak meg.

Füge. 1.3 mutatja a jelek szabályait a repülőgép mozgásának fő paramétereire, valamint a kezelőszervek és vezérlőkarok eltéréseinek nagyságára.

Kis ütési szögeknél és oldalcsúszásnál általában az aerodinamikai együtthatók Taylor sorozat-kiterjesztések formájában történő megjelenítését használják a mozgási paraméterek tekintetében, és ennek a bővítésnek csak az első tagjai maradnak meg. Az aerodinamikai erők és nyomatékok kis ütési szögekre vonatkozó matematikai modellje meglehetősen jól illeszkedik a repülési gyakorlathoz és a szélcsatornákban végzett kísérletekhez. A különböző célú repülőgépek aerodinamikájával foglalkozó munkákból származó anyagok alapján elfogadjuk az aerodinamikai erők és nyomatékok együtthatóinak a mozgási paraméterek és a kezelőszervek elhajlási szögei függvényében történő megjelenítésének alábbi formáját:

сх ^ схо 4~ сх (°0"

U ^ SU0 4" s^ua 4" S!/F;

сг = cfp + СгН6„;

th - itixi|5 - f - ■b thxha>x-(- th -f - /l* (I -|- - J - L2LP6,!

o (0.- (0^- r b b„

tu = myfi + tu ho)x + tu Uyy + r + ga/be + tu bn;

tg = tg(a) + tg zwz/i? f.

A repülésdinamikai specifikus problémák megoldása során az aerodinamikai erők és nyomatékok általános ábrázolási formája egyszerűsíthető. Kis ütési szögek esetén az oldalirányú mozgás számos aerodinamikai együtthatója állandó, és a hosszanti nyomaték a következőképpen ábrázolható.

mz(a) = mzo + m£a,

ahol mz0 a hosszirányú nyomaték együtthatója a = 0-nál.

Az (1.13) kifejezésben szereplő, az α szögekkel arányos komponenseket általában szélcsatornákban végzett modellek statikus tesztjéből vagy számításból találjuk meg. Megtalálni

Származékos Kutatóintézet, twx (y) szükséges

modellek dinamikus tesztelése. Az ilyen vizsgálatok során azonban általában egyidejűleg változnak a szögsebességek, valamint a támadási és csúszási szögek, ezért a mérések és a feldolgozás során a következő mennyiségeket egyidejűleg határozzák meg:

CO - CO- ,

tg* = t2g-mz;

0), R. Yuu I. század.

mx* = mx + mx sin a; tu* = Shuh tu sin a.

CO.. (O.. ft CO-. CO.. ft

ty% = t,/ -|- tiiy cos a; tx% = txy + tx cos a.

A munka azt mutatja, hogy egy repülőgép dinamikájának elemzéséhez

különösen alacsony támadási szögeknél megengedett a pillanat ábrázolása

com relációk formájában (1.13), amelyben az mS és m$ deriváltak

nullával egyenlő, és az m®x kifejezések alatt stb.

az m“j, m™у mennyiségeket értjük [lásd (1.14)], kísérletileg határozzuk meg. Mutassuk meg, hogy ez elfogadható, ha figyelmünket a kis támadási szögű és oldalcsúszásos repülések elemzésének problémáira korlátozzuk állandó repülési sebesség mellett. A Vх, Vy, Vz (1.5) sebességek kifejezéseit az (1.3) egyenletekre behelyettesítve és a szükséges transzformációkat végrehajtva megkapjuk

= % COS a + coA. sina - f -^r)

Hasznos lehet elolvasni: