Variarea ecuațiilor mișcării aeronavei. Ecuațiile mișcării longitudinale a unei aeronave. Ecuațiile mișcării longitudinale a unei aeronave

Pagina 1

Mișcarea unui avion ca corp rigid constă din două mișcări: mișcarea centrului de masă și mișcarea în jurul centrului de masă. Deoarece în fiecare dintre aceste mișcări aeronava are trei grade de libertate, mișcarea sa globală este caracterizată de șase grade de libertate. Pentru a specifica mișcarea în orice moment, este necesar să specificați șase coordonate ca funcții de timp.

Pentru a determina poziția aeronavei vom folosi următoarele sisteme de coordonate dreptunghiulare (Fig. 2.1):

un sistem staționar Ox0y0z0, al cărui început coincide cu centrul de masă al aeronavei, axa Oy0 este îndreptată vertical, iar axele Ox0 și Oz0 sunt orizontale și au o direcție fixă ​​față de Pământ;

un sistem cuplat Ox1y1z1 cu originea în centrul de masă al aeronavei, ale cărui axe sunt îndreptate de-a lungul axelor principale de inerție ale aeronavei: axa Ox1 este de-a lungul axei longitudinale, axa Oy1 este în planul de simetrie, axa Oz1 este perpendiculară pe planul de simetrie;

sistemul de viteze Oxyz cu originea în centrul de masă al aeronavei, a cărui axă Ox este îndreptată de-a lungul vectorului viteză V, axa Oy în planul de simetrie, axa Oz perpendiculară pe planul de simetrie;

Poziția sistemului cuplat Ox1y1z1 în raport cu sistemul staționar Ox0y0z0 se caracterizează prin unghiuri Euler: φ – unghi de rulare, ψ – unghi de rotire și J – unghi de pas.

Poziția vectorului viteza aerului V în raport cu sistemul cuplat Ox1y1z1 este caracterizată prin unghiul de atac α și unghiul de alunecare b.

Adesea, în locul unui sistem de coordonate inerțiale, se alege un sistem asociat cu Pământul. Poziția centrului de masă aeronaveîn acest sistem de coordonate poate fi caracterizat prin altitudinea de zbor H, abaterea laterală de la o anumită traiectorie de zbor Z și distanța parcursă L.

Orez. 2.1 Sisteme de coordonate

Să luăm în considerare mișcarea plană a unei aeronave în care vectorul viteză al centrului de masă coincide cu planul de simetrie. Aeronava din sistemul de coordonate de mare viteză este prezentată în Fig. 2.2.

Orez. 2.2 Aeronave într-un sistem de coordonate de mare viteză

Ecuații mișcare longitudinală centrul de masă al aeronavei în proiecție pe axele OXa și OYa se va scrie sub forma

(2.1)

(2.2)

unde m este masa;

V – viteza aeronavei;

P – forța de tracțiune a motorului;

a – unghiul de atac;

q – unghiul de înclinare a vectorului viteză față de orizont;

Xa – forța de tracțiune;

Ya – forța de ridicare aerodinamică;

G – forța de greutate.

Să notăm cu Mz și, respectiv, Jz, momentul total al forțelor aerodinamice care acționează în raport cu axa transversală care trece prin centrul de masă și momentul de inerție față de aceeași axă. Ecuația momentelor în jurul axei transversale a aeronavei va fi:

(2.3)

Dacă Mshv și Jv sunt momentul balamalei și momentul de inerție al ascensorului în raport cu axa sa de rotație, Mv este momentul de control creat de sistemul de control, atunci ecuația de mișcare a ascensorului va fi:

(2.4)

În patru ecuații (2.1) – (2.4), necunoscutele sunt cinci mărimi J, q, a, V și dв.

Ca a cincea ecuație lipsă, luăm ecuația cinematică care conectează mărimile J, q și a (vezi Fig. 2.2).

În cazul analizării dinamicii unei aeronave care zboară cu o viteză semnificativ mai mică decât viteza orbitală, pot fi simplificate ecuațiile de mișcare față de cazul general al zborului aeronavei, în special, pot fi neglijate rotația și sfericitatea Pământului; . În plus, vom face o serie de ipoteze simplificatoare.

doar cvasistatic, pentru valoarea curentă a capului vitezei.

Când vom analiza stabilitatea și controlabilitatea aeronavei, vom folosi următoarele axe dreptunghiulare de coordonate dreptunghiulare.

Sistemul de coordonate terestre normal OXgYgZg. Acest sistem de axe de coordonate are o orientare constantă față de Pământ. Originea coordonatelor coincide cu centrul de masă (CM) al aeronavei. Axele 0Xg și 0Zg se află în plan orizontal. Orientarea lor poate fi luată în mod arbitrar, în funcție de scopurile problemei care se rezolvă. La rezolvarea problemelor de navigație, axa 0Xg este adesea direcționată spre nord paralelă cu tangenta la meridian, iar axa 0Zg este direcționată spre est. Pentru a analiza stabilitatea și controlabilitatea unei aeronave, este convenabil să se ia direcția de orientare a axei 0Xg pentru a coincide în direcția cu proiecția vectorului viteză pe planul orizontal în momentul inițial al studiului mișcării. În toate cazurile, axa 0Yg este îndreptată în sus de-a lungul verticalei locale, iar axa 0Zg se află în plan orizontal și, împreună cu axele OXg și 0Yg, formează un sistem de dreapta de axe de coordonate (Fig. 1.1). Planul XgOYg se numește plan vertical local.

Sistemul de coordonate asociat OXYZ. Originea coordonatelor este situată în centrul de masă al aeronavei. Axa OX se află în planul de simetrie și este îndreptată de-a lungul liniei coardei aripii (sau paralelă cu o altă direcție fixată în raport cu aeronava) spre nasul aeronavei. Axa 0Y se află în planul de simetrie al aeronavei și este îndreptată în sus (în zbor orizontal), axa 0Z completează sistemul la dreapta.

Unghiul de atac a este unghiul dintre axa longitudinală a aeronavei și proiecția vitezei aeriene pe planul OXY. Unghiul este pozitiv dacă proiecția vitezei aeronavei pe axa 0Y este negativă.

Unghiul de alunecare p este unghiul dintre viteza aerului aeronavei și planul OXY al sistemului de coordonate asociat. Unghiul este pozitiv dacă proiecția vitezei pe axa transversală este pozitivă.

Poziția sistemului de axe de coordonate asociat OXYZ în raport cu sistemul de coordonate pământesc normal OXeYgZg poate fi determinată complet de trei unghiuri: φ, #, y, numite unghiuri. Euler. Rotirea secvenţială a sistemului conectat

coordonate la fiecare dintre unghiurile Euler, se poate ajunge la orice poziție unghiulară a sistemului asociat față de axele sistemului de coordonate normal.

Când se studiază dinamica aeronavei, se folosesc următoarele concepte de unghiuri Euler.

Unghiul de orientare r]) este unghiul dintre o direcție inițială (de exemplu, axa 0Xg a sistemului de coordonate normal) și proiecția axei asociate a aeronavei pe planul orizontal. Unghiul este pozitiv dacă axa OX este aliniată cu proiecția axei longitudinale pe planul orizontal prin rotirea în sensul acelor de ceasornic în jurul axei OYg.

Unghiul de pas # - unghiul dintre axa # longitudinală a aeronavei OX și cea locală plan orizontal OXgZg, Unghiul este pozitiv dacă axa longitudinală este deasupra orizontului.

Unghiul de rulare y este unghiul dintre planul vertical local care trece prin axa OX y și axa 0Y asociată a aeronavei. Unghiul este pozitiv dacă axa O K a aeronavei este aliniată cu planul vertical local prin rotire în sensul acelor de ceasornic în jurul axei OX. Unghiurile Euler pot fi obținute prin rotații succesive ale axelor înrudite în jurul axelor normale. Vom presupune că sistemele de coordonate normale și aferente sunt combinate la început. Prima rotație a sistemului de axe conectate se va face față de axa O prin unghiul de rotire r]; (f coincide cu axa OYgX din Fig. 1.2)); a doua rotație este relativă la axa 0ZX la un unghi Ф ('& coincide cu axa OZJ și, în final, a treia rotație se face față de axa OX la un unghi y (y coincide cu axa OX). vectorii Ф, Ф, у, care sunt componentele

vector al vitezei unghiulare a aeronavei în raport cu sistemul normal de coordonate, pe axele aferente, obținem ecuații pentru relația dintre unghiurile Euler și vitezele unghiulare de rotație ale axelor aferente:

co* = Y + sin *&;

o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1,1)

co2 = φ cos y - φ cos φ sin y.

Când se derivă ecuațiile de mișcare pentru centrul de masă al unei aeronave, este necesar să se ia în considerare ecuația vectorială pentru modificarea impulsului.

-^- + o>xV)=# + G, (1.2)

unde ω este vectorul vitezei de rotație a axelor asociate cu aeronava;

R este vectorul principal al forțelor externe, în cazul general aerodinamic

forțe logice și tracțiune; G este vectorul forțelor gravitaționale.

Din ecuația (1.2) obținem un sistem de ecuații de mișcare a aeronavei CM în proiecții pe axe aferente:

t (gZ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)

t iy’dt „b U - = Rz + Gz>

unde Vx, Vy, Vz sunt proiecții ale vitezei V; Rx, Rz - proiecții

forțe rezultante (forțe aerodinamice și tracțiune); Gxi Gyy Gz - proiecții ale gravitației pe axele aferente.

Proiecțiile gravitației pe axele aferente sunt determinate utilizând cosinusuri de direcție (Tabelul 1.1) și au forma:

Gy = - G cos ft cos y; (1,4)

GZ = G cos d sin y.

Când zboară într-o atmosferă staționară față de Pământ, proiecțiile vitezei de zbor sunt legate de unghiurile de atac și de alunecare și de mărimea vitezei (V) prin relații

Vx = V cos a cos p;

Vу = - V sin a cos р;

Înrudit

Expresiile pentru proiecțiile forțelor rezultate Rx, Rin Rz au următoarea formă:

Rx = - cxqS - f Р cos ([>;

Rty = cyqS p sin (1.6)

unde cx, cy, сг - coeficienții proiecțiilor forțelor aerodinamice pe axele sistemului de coordonate asociat; P este numărul de motoare (de obicei P = / (U, #)); Fn - unghiul de blocare a motorului (ff > 0, când proiecția vectorului de tracțiune pe axa 0Y a aeronavei este pozitivă). În plus, vom lua = 0 peste tot Pentru a determina densitatea p (H) inclusă în expresia pentru presiunea vitezei q, este necesar să integrăm ecuația pentru înălțime.

Vx sin ft+ Vy cos ft cos y - Vz cos ft sin y. (1,7)

Dependența p (H) poate fi găsită din tabelele atmosferei standard sau din formula aproximativă

unde pentru altitudini de zbor I s 10.000 m K f 10~4. Pentru a obține un sistem închis de ecuații ale mișcării aeronavei în axele înrudite, ecuațiile (13) trebuie completate cu cinematice.

relații care fac posibilă determinarea unghiurilor de orientare a aeronavei y, ft, r]1 și pot fi obținute din ecuațiile (1.1):

■ф = Кcos У - sin V):

■fr= „y sin y + cos Vi (1-8)

Y= co* - tan ft (©у cos y - sinY),

iar vitezele unghiulare cov, co, coz sunt determinate din ecuațiile de mișcare ale aeronavei în raport cu CM. Ecuațiile mișcării unei aeronave în raport cu centrul de masă pot fi obținute din legea schimbării momentului unghiular

-^-=MR-ZxK.(1,9)

In aceasta ecuație vectorială Se acceptă următoarele notaţii: ->■ ->

K este momentul impulsului aeronavei; MR este momentul principal al forțelor externe care acționează asupra aeronavei.

Proiecțiile vectorului moment unghiular K pe axele în mișcare sunt scrise în general sub următoarea formă:

K t = I x^X? xy®y I XZ^ZI

К, Iу^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1,10)

K7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*

Ecuațiile (1.10) pot fi simplificate pentru cel mai comun caz de analiză a dinamicii unei aeronave având un plan de simetrie. În acest caz, 1хг = Iyz - 0. Din ecuația (1.9), folosind relațiile (1.10), obținem un sistem de ecuații pentru mișcarea aeronavei în raport cu CM:

h -jf — — hy (“4 — ©Ї) + Uy — !*) = MRZ-

Dacă luăm axele principale de inerție ca SY OXYZ, atunci 1xy = 0. În acest sens, vom efectua o analiză suplimentară a dinamicii aeronavei folosind axele principale de inerție ale aeronavei ca axe OXYZ.

Momentele incluse în partea dreaptă a ecuațiilor (1.11) sunt suma momentelor aerodinamice și a momentelor de la forța motorului. Momentele aerodinamice sunt scrise sub formă

unde tХ1 ty, mz sunt coeficienții adimensionali ai momentelor aerodinamice.

Coeficienții forțelor și momentelor aerodinamice sunt, în general, exprimați sub formă de dependențe funcționale de parametrii cinematici ai mișcării și parametrii de similaritate, în funcție de modul de zbor:

y, g mXt = F(a, p, a, P, coXJ coyj co2, be, f, bn, M, Re). (1,12)

Numerele M și Re caracterizează modul de zbor inițial, prin urmare, atunci când se analizează stabilitatea sau mișcările controlate, acești parametri pot fi luați ca valori constante. În cazul general al mișcării, partea dreaptă a fiecărei ecuații de forțe și momente va conține o funcție destul de complexă, determinată, de regulă, pe baza aproximării datelor experimentale.

Smochin. 1.3 prezintă regulile de semnalizare pentru principalii parametri ai mișcării aeronavei, precum și pentru mărimile abaterilor comenzilor și pârghiilor de control.

Pentru unghiuri mici de atac și alunecare laterală, se utilizează de obicei reprezentarea coeficienților aerodinamici sub formă de expansiuni ale seriei Taylor în termeni de parametri de mișcare, reținându-se doar primii termeni ai acestei expansiuni. Acest model matematic de forțe aerodinamice și momente pentru unghiuri mici de atac se potrivește destul de bine cu practica de zbor și experimentele în tunelurile de vânt. Pe baza materialelor din lucrările privind aerodinamica aeronavelor în diverse scopuri, vom accepta următoarea formă de reprezentare a coeficienților forțelor și momentelor aerodinamice în funcție de parametrii de mișcare și unghiurile de deviere ale comenzilor:

сх ^ схо 4~ сх (°0"

U ^ SU0 4" s^ua 4" S!/F;

сг = cfp + СгН6„;

al - itixi|5 - f - ■b thxha>x-(- th -f - /l* (I -|- - J - L2LP6,!

o (0.- (0^- r b b„

tu = myfi + tu ho)x + tu Uyy + r + ga/be + tu bn;

tg = tg(a) + tg zwz/i? f.

La rezolvarea unor probleme specifice de dinamică a zborului se poate simplifica forma generală de reprezentare a forțelor și momentelor aerodinamice. Pentru unghiuri mici de atac, mulți coeficienți aerodinamici ai mișcării laterale sunt constanți, iar momentul longitudinal poate fi reprezentat ca

mz(a) = mzo + m£a,

unde mz0 este coeficientul momentului longitudinal la a = 0.

Componentele incluse în expresia (1.13), proporționale cu unghiurile α, se găsesc de obicei din încercări statice ale modelelor în tuneluri de vânt sau prin calcul. Pentru a găsi

Institutul de Cercetare a Derivatelor, twx (y) este necesar

testarea dinamică a modelelor. Cu toate acestea, în astfel de teste există de obicei o modificare simultană a vitezelor unghiulare și a unghiurilor de atac și alunecare și, prin urmare, în timpul măsurătorilor și procesării, se determină simultan următoarele mărimi:

CO - CO- ,

tg* = t2g -mz;

0), R. Yuu secolul I.

mx* = mx + mx sin a; tu* = Shuh tu sin a.

CO.. (O.. ft CO-. CO.. ft

ty% = t,/ -|- tiiy cos a; tx% = txy + tx cos a.

Lucrarea arată că pentru a analiza dinamica unei aeronave,

mai ales la unghiuri mici de atac, este permisă reprezentarea momentului

com sub forma relaţiilor (1.13), în care derivatele mS şi m$

luate egale cu zero, iar sub expresiile m®x etc.

cantitățile m“j, m™у sunt înțelese [vezi (1.14)], determinat experimental. Să arătăm că acest lucru este acceptabil limitându-ne considerația la problemele de analiză a zborurilor cu unghiuri mici de atac și alunecare laterală la o viteză constantă de zbor. Înlocuind expresiile pentru viteze Vх, Vy, Vz (1.5) în ecuațiile (1.3) și făcând transformările necesare, obținem

= % COS a + coA. sina - f -^r )

 

Ar putea fi util să citiți: